Questão 161 do ENEM 2010 comentada
Como comparar áreas de triângulos e de uma região formada por pontos médios dos lados.
Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, foram indicadas por letras.
A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto.
Nessas condições, a área a ser calçada corresponde
- AÀ mesma área do triângulo AMC.
- BÀ mesma área do triângulo BNC.
- CÀ metade da área formada pelo triângulo ABC.
- DAo dobro da área do triângulo MNC.
- EAo triplo da área do triângulo MNC.
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Ver a resposta e a resolução
O que a questão cobra
A questão cobra a relação entre áreas de triângulos semelhantes e a área que sobra quando uma região triangular menor é retirada da maior. Para isso, você precisa usar o fato de que M e N são pontos médios.
Resolução
A figura mostra que M e N formam, junto com C, um triângulo menor dentro de ABC. A região sombreada ABMN é o que sobra de ABC quando retiramos MNC.
as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo
Como M e N são pontos médios, os lados de MNC medem metade dos lados correspondentes de ABC. A razão entre áreas é o quadrado da razão entre os lados:
Área(MNC) = (1/2)² × Área(ABC) = 1/4 × Área(ABC).
Logo, a região ABMN corresponde à área de ABC menos a área de MNC:
Área(ABMN) = 1 × Área(ABC) − 1/4 × Área(ABC) = 3/4 × Área(ABC).
Como MNC tem 1/4 da área de ABC, a região sombreada tem três vezes a área de MNC:
Área(ABMN) = 3 × Área(MNC).
Portanto, a área a ser calcada corresponde ao triplo da área do triângulo MNC.
Alternativa por alternativa
- A
O triângulo AMC tem metade da área de ABC, enquanto a região ABMN tem três quartos. Portanto, as áreas não são iguais.
- B
O triângulo BNC também tem metade da área de ABC. A região demarcada tem três quartos, então não corresponde à mesma área.
- C
A região ABMN tem três quartos da área de ABC, não a metade.
- D
O dobro da área de MNC corresponde à metade da área de ABC. A região demarcada corresponde a três vezes a área de MNC.
- E
Correta. Como MNC tem um quarto da área de ABC e ABMN tem três quartos, a região a ser calcada equivale ao triplo da área de MNC.
Para lembrarQuando as dimensões de figuras semelhantes são multiplicadas por uma razão r, suas áreas são multiplicadas por r².
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