Questão 164 do ENEM 2009 comentada
Como usar a divisão de um setor circular para calcular a porcentagem de uma área retangular.
Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de 3 km x 2 km que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura.
Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde, aproximadamente, a
(considere √3/3 = 0,58)
- A50%.
- B43%
- C37%
- D33%
- E19%
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Ver a resposta e a resolução
O que a questão cobra
A questão exige relacionar áreas de setores circulares iguais aos ângulos centrais e calcular a área de uma região triangular. Depois, é preciso comparar essa área com a área total do terreno.
Resolução
O trecho decisivo informa que os irmãos dividiram igualmente a área de extração. Na figura, essa área é um quarto de círculo, dividido por segmentos que partem do mesmo canto. Como os setores têm o mesmo raio, áreas iguais correspondem a ângulos iguais.
cada um ficasse com a terça parte da área de extração
O quarto de círculo mede 90°, então cada setor mede 30°. A região de João é um triângulo: sua altura é 2 km, e a linha que a delimita forma 60° com a horizontal. Assim, sua base mede 2√3/3 km.
Base = 2 × 0,58 = 1,16 km
Área de João = (2 × 1,16) ÷ 2 = 1,16 km²
A área total do retângulo é 3 × 2 = 6 km². Portanto, a porcentagem que coube a João é:
(1,16 ÷ 6) × 100 ≈ 19%
A figura permite identificar a região triangular de João e as dimensões do retângulo. Comparar as duas áreas mostra que a parte dele corresponde a aproximadamente 19% do terreno.
Alternativa por alternativa
- A
50% não corresponde à área de João: ela é de aproximadamente 1,16 km², enquanto metade do terreno de 6 km² seria 3 km².
- B
43% não corresponde à razão entre a área de João e a área total. Essa razão é aproximadamente 1,16 ÷ 6, ou 19%.
- C
37% também não corresponde à razão calculada. A área triangular de João representa aproximadamente 19% dos 6 km² do terreno.
- D
33% não se sustenta: a divisão em três partes iguais vale para a área de extração, não para todo o terreno retangular.
- E
Correta. A região de João tem aproximadamente 1,16 km², e o terreno inteiro tem 6 km². Essa razão equivale a cerca de 19%.
Para lembrarPara achar a porcentagem de uma parte, divida sua área pela área total e multiplique o resultado por 100.
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