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Matemática ENEM 2009 difícil~1 min

Questão 157 do ENEM 2009 comentada

Como usar o volume de um cubo e o diâmetro de esferas para descobrir quantas cabem em uma caixa.

Numeração do caderno azul · Matemática

Questão 157ENEM 2009

Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6 cm de raio, utiliza caixas de madeira, na forma de um cubo, para transportá-las.

Sabendo que a capacidade da caixa é de 13.824 cm³, então o número máximo de esferas que podem ser transportadas em uma caixa é igual a

  1. A
    4.
  2. B
    8.
  3. C
    16.
  4. D
    24.
  5. E
    32.

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Resposta: Bgabarito oficial do INEP

O que a questão cobra

A questão exige calcular a aresta do cubo a partir de seu volume e comparar essa medida com o diâmetro das esferas. Também é preciso determinar o máximo de esferas que cabem sem se sobrepor.

Resolução

a capacidade da caixa é de 13.824 cm³

Como a caixa tem forma cúbica, seu volume é a aresta elevada ao cubo.

Aresta = ∛13.824 = 24 cm

Cada esfera tem diâmetro igual a duas vezes o raio.

Diâmetro = 2 × 6 = 12 cm

Para confirmar o máximo, considere os centros das esferas: eles ficam a pelo menos 6 cm de cada face da caixa. Assim, cabem na região central, que mede 12 cm em cada direção. Dividindo essa região em oito cubos de aresta 6 cm, cada um pode conter no máximo um centro: a maior distância entre dois pontos dentro de um desses cubos é sua diagonal, 6√3 cm, menor que 12 cm. Portanto, não cabem dois centros no mesmo cubo. O limite é de oito esferas, e ele é atingido colocando uma esfera em cada posição de um arranjo 2 × 2 × 2. Logo, esse é o número máximo.

Alternativa por alternativa

  • A

    Quatro esferas cabem, mas não representam o máximo: é possível acomodar oito.

  • B

    Correta. Está correta: o máximo é oito esferas, em um arranjo de 2 × 2 × 2.

  • C

    Dezesseis esferas ultrapassam o máximo de oito, determinado pelas dimensões da caixa e pelo diâmetro das esferas.

  • D

    Vinte e quatro esferas ultrapassam o máximo de oito que cabe na caixa.

  • E

    Trinta e duas esferas ultrapassam o máximo de oito que cabe na caixa.

Para lembrarO volume de um cubo é V = a³; o diâmetro de uma esfera é d = 2r.

Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.

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