Questão 155 do ENEM 2025 comentada
Como contar diretorias com cargos diferentes e uma restrição para pessoas do mesmo casal.
Dez casais fundaram um grupo de dança e decidiram constituir uma diretoria com três cargos: presidente, secretário e tesoureiro. Para maior representatividade, decidiu-se que no máximo uma pessoa por casal poderá ocupar um cargo nessa diretoria.
Quantas diretorias diferentes podem ser constituídas por esses 10 casais?
- A10 × 9 × 8
- B20 × 18 × 16
- C20 × 19 × 18
- D10 × 9 × 8 × 2
- E20 × 18 × 16 × 2
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O que a questão cobra
A questão exige aplicar o princípio multiplicativo, considerando que os cargos são diferentes e que pessoas do mesmo casal não podem integrar a diretoria juntas.
Resolução
Como presidente, secretário e tesoureiro são cargos diferentes, a ordem das escolhas importa. Para cada cargo, contamos quantas pessoas podem ocupá-lo, respeitando a regra sobre os casais.
no máximo uma pessoa por casal poderá ocupar um cargo nessa diretoria.
Há 20 pessoas para o cargo de presidente. Depois da escolha, ficam 18 pessoas elegíveis para secretário: saem a pessoa escolhida e seu cônjuge. Para tesoureiro, saem também a pessoa escolhida para secretário e seu cônjuge. Restam 16 pessoas elegíveis.
20 × 18 × 16 = 5 760
Logo, podem ser constituídas 5 760 diretorias. A alternativa B apresenta esse produto. Não é necessário multiplicar por outro fator: as escolhas já consideram cada pessoa individualmente.
Alternativa por alternativa
- A
Está errada: 10 × 9 × 8 escolhe os casais, mas não contabiliza qual pessoa de cada casal ocuparia o cargo.
- B
Correta. Está correta: há 20 opções para presidente, 18 para secretário e 16 para tesoureiro, totalizando 20 × 18 × 16 = 5 760 diretorias.
- C
Está errada: 20 × 19 × 18 não exclui o cônjuge da pessoa escolhida, então permite que duas pessoas do mesmo casal ocupem cargos.
- D
Está errada: 10 × 9 × 8 × 2 não contabiliza separadamente as escolhas de pessoas para os três cargos.
- E
Está errada: 20 × 18 × 16 já conta as escolhas individuais; multiplicar por 2 novamente duplica o total.
Para lembrarNo princípio multiplicativo, multiplique as opções de cada etapa; ajuste cada etapa às restrições do problema.
Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.
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