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Matemática ENEM 2025 difícil

Questão 149 do ENEM 2025 comentada

Como usar a planificação e a relação de Euler para determinar os vértices de um poliedro.

Numeração do caderno azul · Matemática

Questão 149ENEM 2025

A cúpula pentagonal giralongada é um poliedro de Johnson, cujas faces são polígonos regulares, mas que não é um poliedro de Platão, de Arquimedes, prisma ou antiprisma.

As figuras apresentam esse poliedro em duas posições e uma de suas planificações.

figura da questão

Quantos vértices tem esse poliedro?

  1. A
    21
  2. B
    25
  3. C
    55
  4. D
    80
  5. E
    110

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Resposta: Bgabarito oficial do INEP

O que a questão cobra

A questão cobra a leitura de uma planificação e a relação de Euler para poliedros. Você precisa obter o número de faces e de arestas para calcular os vértices.

Resolução

A planificação é a parte da figura que permite reconhecer os tipos e as quantidades de faces do sólido. Com isso, você pode calcular o total de faces e de arestas, sem depender da posição do poliedro nas outras vistas.

uma de suas planificações.

Na planificação, há 25 triângulos, 5 quadrados, 1 pentágono e 1 decágono. Logo, o número de faces é:

F = 25 + 5 + 1 + 1 = 32

Para encontrar as arestas, some os lados de todas as faces. Essa soma conta cada aresta duas vezes, pois cada aresta é compartilhada por duas faces.

2E = 25 · 3 + 5 · 4 + 1 · 5 + 1 · 10 = 110
E = 110 ÷ 2 = 55

Agora, aplique a relação de Euler, V − E + F = 2, em que V é o número de vértices:

V − 55 + 32 = 2
V = 25

Portanto, o poliedro tem 25 vértices.

Alternativa por alternativa

  • A

    21 não satisfaz a relação de Euler: 21 − 55 + 32 = −2, e não 2.

  • B

    Correta. 25 está correto: com 55 arestas e 32 faces, a relação de Euler fornece V = 25.

  • C

    55 é o número de arestas, não de vértices.

  • D

    80 não satisfaz a relação de Euler: 80 − 55 + 32 = 57, e não 2.

  • E

    110 é a soma dos lados de todas as faces; cada aresta foi contada duas vezes.

Para lembrarEm um poliedro, V − E + F = 2; ao somar os lados das faces, cada aresta é contada duas vezes.

Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.

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