Questão 171 do ENEM 2024 comentada
Compare áreas de polígonos regulares com perímetro fixo para determinar qual forma aproveita melhor a cerca.
Um jardineiro dispõe de k metros lineares de cerca baixa para fazer um jardim ornamental. O jardim, delimitado por essa cerca, deve ter a forma de um triângulo equilátero, um quadrado ou um hexágono regular. A escolha será pela forma que resulte na maior área.
O jardineiro escolherá a forma de
- A
- B
- C
- D
- E
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Ver a resposta e a resolução
O que a questão cobra
A questão exige relacionar o perímetro de cada polígono regular à medida de seu lado e comparar as áreas obtidas. Também cobra o uso das fórmulas de área do triângulo equilátero, do quadrado e do hexágono regular.
Resolução
Os k metros de cerca formam o contorno completo de cada jardim. Assim, o lado de cada forma depende do número de lados: no triângulo, mede k/3; no quadrado, k/4; no hexágono, k/6.
A escolha será pela forma que resulte na maior área.
A figura associa cada forma a uma expressão para sua área. Para comparar, escrevemos as três áreas em função do mesmo perímetro k.
Triângulo equilátero: área = (√3/4)(k/3)² = k²√3/36.
Quadrado: área = (k/4)² = k²/16.
Hexágono regular: área = 6(√3/4)(k/6)² = k²√3/24.
Como k é o mesmo nas três opções, basta comparar os coeficientes de k². Temos √3/24 ≈ 0,0722, 1/16 = 0,0625 e √3/36 ≈ 0,0481. Logo, o hexágono regular produz a maior área. A expressão correspondente na figura é k²√3/24.
Alternativa por alternativa
- A
Correta. a figura indica o hexágono regular e a área k²√3/24, que é a maior entre as três formas.
- B
para perímetro k, a área do hexágono é k²√3/24, não 3k²√3/2.
- C
k²/16 é a área do quadrado, mas ela é menor que a área do hexágono.
- D
k²√3/36 é a área do triângulo equilátero, que também é menor que a do hexágono.
- E
com perímetro k, a área do triângulo equilátero é k²√3/36, não k²√3/4.
Para lembrarCom perímetro fixo, use o perímetro para encontrar o lado de cada polígono e só então compare as áreas.
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