Questão 155 do ENEM 2024 comentada
Como calcular a área de um setor circular e escolher a menor cobertura que atende a um limite mínimo.
Um proprietário pretende instalar um sensor de presença para a proteção de seu imóvel. O sensor deverá detectar movimentos de objetos e pessoas numa determinada região plana. A figura ilustra a vista superior da área de cobertura (setor circular em azul) de um sensor colocado no ponto S. Essa área depende da medida do ângulo α, em grau, e do raio R, em metro.
Ao aumentar o ângulo α ou o raio R aumenta-se a área de cobertura do sensor. Entretanto, quanto maior essa área, maior o preço do sensor.
Para esse fim, há cinco tipos de sensores disponíveis no mercado, cada um com as seguintes características:
- tipo I: α = 15° e R = 20 m;
- tipo II: α = 30° e R = 22 m;
- tipo III: α = 40° e R = 12 m;
- tipo IV: α = 60° e R = 16 m;
- tipo V: α = 90° e R = 10 m.
Esse proprietário pretende adquirir um desses sensores que seja capaz de cobrir, no mínimo, uma área de medida 70 m², com o menor preço possível.
Use 3 como valor aproximado para π.
O proprietário do imóvel deverá adquirir o sensor do tipo
- AI.
- BII.
- CIII.
- DIV.
- EV.
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Ver a resposta e a resolução
O que a questão cobra
A questão cobra o cálculo da área de um setor circular a partir do ângulo central e do raio. Também exige comparar as áreas com o mínimo pedido e considerar a relação entre área e preço.
Resolução
Essa área depende da medida do ângulo α, em grau, e do raio R, em metro.
Na figura, a região azul é um setor circular: α indica seu ângulo central e R, o raio. A área do setor é a fração α/360 da área do círculo. Use π ≈ 3:
A = (α/360) × 3 × R²
Calculando cada opção:
Tipo I: (15/360) × 3 × 20² = 50 m²
Tipo II: (30/360) × 3 × 22² = 121 m²
Tipo III: (40/360) × 3 × 12² = 48 m²
Tipo IV: (60/360) × 3 × 16² = 128 m²
Tipo V: (90/360) × 3 × 10² = 75 m²
A cobertura precisa ser de, no mínimo, 70 m². Assim, os tipos II, IV e V atendem ao requisito. Como o preço aumenta com a área, entre esses sensores o tipo V tem o menor preço: sua área é 75 m², menor que 121 m² e 128 m².
Alternativa por alternativa
- A
O tipo I cobre 50 m², abaixo do mínimo de 70 m².
- B
O tipo II atende ao mínimo, com 121 m², mas sua área é maior que os 75 m² do tipo V; portanto, não tem o menor preço entre os que atendem.
- C
O tipo III cobre 48 m², abaixo do mínimo de 70 m².
- D
O tipo IV atende ao mínimo, com 128 m², mas sua área é maior que os 75 m² do tipo V; portanto, não tem o menor preço entre os que atendem.
- E
Correta. O tipo V cobre 75 m², atende ao mínimo e tem a menor área entre os sensores que atendem; por isso, tem o menor preço possível.
Para lembrarA área de um setor circular é A = (α/360) × π × R²; quando o preço aumenta com a área, escolha a menor área que ainda atenda ao mínimo.
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