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Matemática ENEM 2023 difícil

Questão 146 do ENEM 2023 comentada

Use a contagem das repetições dos números nos lados para determinar somas iguais em um triângulo mágico.

Numeração do caderno azul · Matemática

Questão 146ENEM 2023

O triângulo da figura é denominado triângulo mágico. Nos círculos, escrevem-se os números de 1 a 6, sem repetição, com um número em cada círculo. O objetivo é distribuir os números de forma que as somas dos números em cada lado do triângulo sejam iguais.
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figura da questão

Considere que os números colocados nos vértices do triângulo estejam em progressão aritmética de razão igual a 2.
Nas condições propostas, quais as possíveis soluções para as somas dos números que formam os lados do triângulo?

  1. A
    Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7.
  2. B
    Há somente uma solução possível, e as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9.
  3. C
    Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 7 e outra em que as somas são iguais a 9.
  4. D
    Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 9 e outra em que as somas são iguais a 12.
  5. E
    Há somente duas soluções possíveis, uma em que as somas em cada lado do triângulo são iguais a 10 e outra em que as somas são iguais a 11.

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Ver a resposta e a resolução

Resposta: Egabarito oficial do INEP

O que a questão cobra

A questão cobra progressões aritméticas e a contagem dos números que aparecem nas somas dos lados. Você precisa relacionar a soma dos números usados com a soma comum de cada lado.

Resolução

Na figura, os círculos dos vértices participam de duas somas de lados; os círculos do meio participam de uma. Por isso, ao somar as três somas iguais, os números dos vértices são contados duas vezes.

O objetivo é distribuir os números de forma que as somas dos números em cada lado do triângulo sejam iguais.

Os números de 1 a 6 somam 21. Como os valores dos vértices formam uma progressão aritmética de razão 2, eles são 1, 3 e 5, ou 2, 4 e 6. A soma dos vértices, portanto, pode ser 9 ou 12.

3S = 21 + soma dos vértices

Se a soma dos vértices for 9, S = 10. Se for 12, S = 11. Ambos os casos são possíveis: para os vértices 1, 3 e 5, os números restantes completam cada lado até 10; para 2, 4 e 6, completam até 11. Logo, há duas somas possíveis: 10 e 11.

Alternativa por alternativa

  • A

    a soma comum não pode ser 7. Os valores possíveis, pela contagem dos números nos lados, são 10 e 11.

  • B

    9 é a soma possível dos vértices em um caso, não a soma de cada lado. Nesse caso, cada lado soma 10.

  • C

    7 e 9 não são as somas dos lados. As duas somas possíveis são 10 e 11.

  • D

    9 e 12 podem ser somas dos vértices, mas as somas correspondentes dos lados são 10 e 11.

  • E

    Correta. os vértices somam 9 ou 12, o que resulta em somas comuns dos lados iguais a 10 ou 11.

Para lembrarAo somar as somas dos lados, conte cada número conforme o número de lados em que ele aparece.

Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.

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