Questão 155 do ENEM 2020 comentada
Aprenda a determinar um termo de uma sequência em que cada quadrado tem lado igual à metade do anterior.
O artista gráfico holandês Maurits Cornelius Escher criou belíssimas obras nas quais as imagens se repetiam, com diferentes tamanhos, induzindo ao raciocínio de repetição infinita das imagens. Inspirado por ele, um artista fez um rascunho de uma obra na qual propunha a ideia de construção de uma sequência de infinitos quadrados, cada vez menores, uns sob os outros, conforme indicado na figura.
O quadrado PRST, com lado de medida 1, é o ponto de partida. O segundo quadrado é construído sob ele tomando-se o ponto médio da base do quadrado anterior e criando-se um novo quadrado, cujo lado corresponde à metade dessa base. Essa sequência de construção se repete recursivamente.
Qual é a medida do lado do centésimo quadrado construído de acordo com esse padrão?
- A
- B
- C
- D
- E
Tente resolver antes de abrir. Errar aqui é de graça.
Ver a resposta e a resolução
O que a questão cobra
A questão exige reconhecer uma sequência geométrica decrescente. Também é preciso diferenciar o número do quadrado do número de reduções pela metade.
Resolução
O primeiro quadrado é o ponto de partida e tem lado 1. A cada novo quadrado, o lado passa a ser metade do anterior. A figura representa essas reduções sucessivas.
cujo lado corresponde à metade dessa base.
Assim, os lados formam uma sequência geométrica de razão 1/2. Como o primeiro quadrado já tem lado 1, chegar ao centésimo exige 99 reduções pela metade: entre o primeiro e o segundo há uma redução, e cada quadrado seguinte acrescenta mais uma.
Lado do quadrado n = 1 × (1/2)^(n − 1)
Lado do centésimo quadrado = 1 × (1/2)^99
Portanto, a medida é (1/2)^99. A alternativa B mostra essa potência. O expoente é 99, não 100, porque o quadrado de lado 1 já conta como o primeiro da sequência.
Alternativa por alternativa
- A
O expoente 100 representa 100 reduções pela metade. Do primeiro ao centésimo quadrado ocorrem apenas 99 reduções.
- B
Correta. Está correta: o primeiro quadrado tem lado 1, e são necessárias 99 reduções pela metade para chegar ao centésimo.
- C
O expoente 97 corresponde a 97 reduções pela metade, não às 99 necessárias para chegar ao centésimo quadrado.
- D
O expoente negativo resulta em uma potência maior que 1. Isso não corresponde a quadrados cujos lados diminuem a cada etapa.
- E
O expoente negativo também resulta em uma potência maior que 1, enquanto a sequência de lados diminui a cada novo quadrado.
Para lembrarNuma sequência geométrica, aₙ = a₁ × q^(n − 1); o expoente conta as etapas depois do primeiro termo.
Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.
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