Questão 179 do ENEM 2010 comentada
Identifique o padrão das somas nas linhas de uma sequência numérica e aplique-o à nona linha.
Ronaldo é um garoto que adora brincar com números. Numa dessas brincadeiras, empilhou caixas numeradas de acordo com a sequência conforme mostrada no esquema a seguir.
Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma propriedade e que, por meio dessa propriedade, era possível prever a soma de qualquer linha posterior às já construídas.
A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9a linha da sequência de caixas empilhadas por Ronaldo?
- A9
- B45
- C64
- D81
- E285
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Ver a resposta e a resolução
O que a questão cobra
A questão exige reconhecer o padrão dos números em cada linha e calcular a soma de uma linha posterior. Para isso, você pode usar a soma dos termos de uma sequência de números consecutivos.
Resolução
“a soma dos números em cada linha tinha uma propriedade”
A figura mostra que os números de cada linha crescem até o valor central e depois decrescem. Na linha de posição n, o valor central é n; os demais valores de 1 até n − 1 aparecem duas vezes. Assim, a soma é n mais duas vezes a soma de 1 até n − 1.
Para a nona linha:
1 + 2 + ⋯ + 8 = 8 · 9 ÷ 2 = 36
9 + 2 · 36 = 81
Logo, a soma da nona linha é 81. Em geral, essa propriedade também pode ser escrita como n + 2 · [n(n − 1) ÷ 2] = n². Para n = 9, temos 9² = 81. A função da figura é mostrar como os valores se organizam em cada linha, permitindo identificar esse padrão e aplicá-lo à linha pedida.
Alternativa por alternativa
- A
9 é o maior valor da nona linha, mas a questão pede a soma de todos os valores dessa linha.
- B
45 é a soma de 1 até 9, mas a linha também contém os valores que decrescem de 8 até 1.
- C
64 corresponde a 8², que é a soma da linha de posição 8, não da nona.
- D
Correta. Está correta: a nona linha tem soma 9², que é 81.
- E
Não se sustenta: aplicando o padrão mostrado na figura à nona linha, a soma é 81, não 285.
Para lembrarNa linha de posição n, os números de 1 até n − 1 aparecem duas vezes e o valor n aparece uma vez; por isso, a soma é n².
Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.
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