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Matemática ENEM 2019 difícil~2 min

Questão 177 do ENEM 2019 comentada

Como usar uma função trigonométrica para contar quando a altura do pistão atinge um valor em certo intervalo de tempo.

Numeração do caderno azul · Matemática

Questão 177ENEM 2019

Um grupo de engenheiros está projetando um motor cujo esquema de deslocamento vertical do pistão dentro da câmara de combustão esta representado na figura.

descreve como varia a altura h, medida em centímetro, da parte superior do pistão dentro da câmara de combustão, em função do tempo t, medido em segundo. Nas figuras estão indicadas as alturas do pistão em dois instantes distintos.

O valor do parâmetro β, que é dado por um número inteiro positivo, está relacionado com a velocidade de deslocamento do pistão. Para que o motor tenha uma boa potência, é necessário e suficiente que, em menos de 4 segundos após o início do funcionamento (instante t = 0), a altura da base do pistão alcance por três vezes o valor de 6 cm.

Para os cálculos, utilize 3 como aproximação para π.

figura da questão

O menor valor inteiro a ser atribuído ao parâmetro β, de forma que o motor a ser construído tenha boa potência, é

  1. A
    1.
  2. B
    2.
  3. C
    4.
  4. D
    5.
  5. E
    8.

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Ver a resposta e a resolução

Resposta: Dgabarito oficial do INEP

O que a questão cobra

A questão exige interpretar uma função trigonométrica periódica e contar suas soluções em um intervalo de tempo. Também é preciso respeitar a condição de que o instante seja anterior a 4 segundos.

Resolução

em menos de 4 segundos após o início

A figura identifica h como a altura do pistão e apresenta sua função em relação ao tempo. Para saber quando essa altura vale 6 cm, substituímos esse valor na função. Como sen(x − π/2) = −cos(x), obtemos uma condição para o ângulo βt/2.

h = 6 implica cos(βt/2) = −1/2.

Usando π ≈ 3, os primeiros ângulos positivos que satisfazem essa condição são 2, 4, 8 e 10. Assim, a terceira vez ocorre quando βt/2 = 8.

t = 2 × 8 / β = 16 / β

Para que a terceira ocorrência aconteça antes de 4 segundos, precisamos de 16/β < 4, ou seja, β > 4. Como β é um inteiro positivo, o menor valor possível é 5. Com β = 5, a terceira ocorrência acontece em 3,2 segundos. Já com β = 4, ela ocorre exatamente em 4 segundos, o que não atende à condição.

Alternativa por alternativa

  • A

    Com β = 1, a altura não alcança 6 cm três vezes antes de 4 segundos.

  • B

    Com β = 2, ocorre apenas uma vez antes de 4 segundos; a próxima ocorrência fica no instante 4.

  • C

    Com β = 4, a terceira ocorrência acontece exatamente em 4 segundos, e não antes desse instante.

  • D

    Correta. Com β = 5, a terceira ocorrência acontece em 3,2 segundos. Esse é o menor inteiro que atende à condição.

  • E

    Com β = 8, a altura alcança 6 cm três vezes antes de 4 segundos, mas esse valor não é o menor inteiro que funciona.

Para lembrarEm uma condição estrita como t < 4, um evento que ocorre exatamente em t = 4 não conta.

Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.

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