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Matemática ENEM 2019 difícil

Questão 163 do ENEM 2019 comentada

Compare expressões com potências de uma mesma base para identificar o maior IDH.

Numeração do caderno azul · Matemática

Questão 163ENEM 2019

O Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) é uma medida usada para classificar os países pelo seu grau de desenvolvimento.
Para seu cálculo, são levados em consideração a expectativa de vida ao nascer, tempo de escolaridade e renda per capita, entre outros.

O menor valor deste índice é zero e o maior é um. Cinco países foram avaliados e obtiveram os seguintes índices de desenvolvimento humano: o primeiro país recebeu um valor X, o segundo figura da questão​​​, o terceiro ​​​​figura da questão, o quarto X² e o último X³. Nenhum desses países zerou ou atingiu o índice máximo.

Qual desses países obteve o maior IDH?

  1. A
    O primeiro.
  2. B
    O segundo.
  3. C
    O terceiro.
  4. D
    O quarto.
  5. E
    O quinto.

Tente resolver antes de abrir. Errar aqui é de graça.

Ver a resposta e a resolução

Resposta: Cgabarito oficial do INEP

O que a questão cobra

A questão cobra a comparação de potências quando a base está entre zero e um. Você precisa considerar os índices apresentados no enunciado e nas figuras.

Resolução

O IDH de cada país está entre zero e um. Como o primeiro país tem índice X, isso significa que 0 < X < 1. As figuras mostram que o segundo índice é √X e o terceiro é a raiz cúbica de X, isto é, X^(1/3). Os outros índices são X² e X³.

Nenhum desses países zerou ou atingiu o índice máximo.

Para comparar, escrevemos a raiz quadrada como potência:

√X = X^(1/2)

Quando a base está entre zero e um, uma potência fica maior que outra se seu expoente for menor. Assim, a ordem dos índices é:

X^(1/3) > X^(1/2) > X > X² > X³

Portanto, o maior índice é o do terceiro país. A figura é importante porque apresenta as raízes que permitem comparar os índices com os demais valores de X.

Alternativa por alternativa

  • A

    O primeiro país tem índice X, menor que X^(1/3), que é o índice do terceiro.

  • B

    O segundo país tem índice √X = X^(1/2), menor que X^(1/3), pois 0 < X < 1.

  • C

    Correta. O terceiro país tem índice X^(1/3), maior que os demais quando 0 < X < 1.

  • D

    O quarto país tem índice X², menor que X e que as raízes de X nesse intervalo.

  • E

    O quinto país tem índice X³, menor que X² e que os demais valores, pois 0 < X < 1.

Para lembrarSe 0 < x < 1, quanto menor o expoente positivo, maior o valor de x elevado a esse expoente.

Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.

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