Questão 136 do ENEM 2017 comentada
Como calcular o valor de quitação antecipada de parcelas em um empréstimo com juros compostos.
Um empréstimo foi feito à taxa mensal de i%, usando juros compostos, em oito parcelas fixas e iguais a P.
O devedor tem a possibilidade de quitar a dívida antecipadamente a qualquer momento, pagando para isso o valor atual das parcelas ainda a pagar. Após pagar a 5ª parcela, resolve quitar a dívida no ato de pagar a 6ª parcela.
A expressão que corresponde ao valor total pago pela quitação do empréstimo é:
- A
- B
- C
- D
- E
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O que a questão cobra
A questão exige identificar a data em que a dívida será quitada e trazer as parcelas futuras a valor presente usando juros compostos.
Resolução
Após pagar a 5ª parcela, resolve quitar a dívida no ato de pagar a 6ª parcela.
A quitação ocorre na data em que a 6ª parcela vence. Por isso, ela é paga integralmente, sem desconto. Restam a 7ª e a 8ª parcelas: a primeira vence um mês depois; a segunda, dois meses depois.
Em juros compostos, o valor atual de uma parcela futura é obtido dividindo seu valor por `(1 + i/100)` elevado ao número de meses até o vencimento.
Valor da 6ª parcela: `P`.
Valor atual da 7ª parcela: `P/(1 + i/100)`.
Valor atual da 8ª parcela: `P/(1 + i/100)²`.
Assim, o total pago é `P[1 + 1/(1 + i/100) + 1/(1 + i/100)²]`. A figura da alternativa A mostra justamente essa composição: a parcela vencida no ato e o valor atual das duas parcelas restantes, descontadas pelos respectivos prazos.
Alternativa por alternativa
- A
Correta. Está correta: soma a 6ª parcela, paga no ato, ao valor atual da 7ª e da 8ª parcelas, descontadas por um e dois meses.
- B
Está errada: para trazer a 8ª parcela a valor atual por dois meses, o denominador deve ser `(1 + i/100)²`, e não `1 + 2i/100`.
- C
Está errada: não inclui a parcela paga no ato e aplica o mesmo prazo de desconto às parcelas futuras.
- D
Está errada: desconta também a parcela paga no ato e usa denominadores que não representam a capitalização composta por períodos.
- E
Está errada: trata a 6ª parcela como se ainda faltasse um mês para seu vencimento, embora ela seja paga no ato da quitação.
Para lembrarEm juros compostos, o valor atual de uma parcela futura é o valor da parcela dividido por `(1 + taxa)^n`, em que `n` é o número de períodos até o pagamento.
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