Questão 165 do ENEM 2013 comentada
Como contar joias com pedras coloridas em vértices consecutivos, sem contar duas vezes a mesma disposição?
05. (ENEM-2013) Um artesão de joias tem à sua disposição pedras brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e verdes.
Ele pretende produzir joias constituídas por uma liga metálica, a partir de um molde no formato de um losango não quadrado com pedras nos seus vértices, de modo que dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes.
A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão, cujos vértices A, B, C e D correspondem às posições ocupadas pelas pedras.
Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter?
- A6
- B12
- C18
- D24
- E36
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Ver a resposta e a resolução
O que a questão cobra
A questão exige contar combinações que respeitam uma condição entre vértices vizinhos. Também é preciso reconhecer quando uma rotação representa a mesma joia.
Resolução
dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes.
A figura mostra as posições A, B, C e D formando um ciclo. Como o losango não é quadrado, uma meia-volta troca A por C e B por D; essa rotação não cria uma joia diferente.
Primeiro, contamos as disposições com as posições nomeadas. Há 3 escolhas para A e 2 para B. Depois, C pode ter a cor de A ou a terceira cor. Se C tem a cor de A, D pode ter qualquer uma das 2 cores diferentes dela. Se C tem a terceira cor, D só pode ter a cor de B.
Disposições nomeadas: 3 × 2 × (2 + 1) = 18.
Entre elas, 6 ficam iguais após a meia-volta: A e C têm a mesma cor, assim como B e D. As outras 12 se agrupam em 6 pares de disposições que representam a mesma joia. Portanto, contamos 6 disposições sem par e mais 6 pares: 6 + 6 = 12.
Alternativa por alternativa
- A
6 é a quantidade de disposições que não mudam com a meia-volta. Ainda é preciso contar os 6 pares de disposições não simétricas, totalizando 12 joias.
- B
Correta. Está correta: as 18 disposições com posições nomeadas correspondem a 12 joias diferentes quando se identificam as que são iguais após uma meia-volta.
- C
18 conta as disposições com posições nomeadas, mas conta duas vezes cada par que se transforma pela meia-volta.
- D
24 é maior que as 18 disposições nomeadas que respeitam a condição de cores diferentes entre vizinhos.
- E
36 também supera as 18 disposições nomeadas válidas; portanto, inclui configurações que não resultam da contagem exigida.
Para lembrarAo contar configurações, identifique quais representam o mesmo objeto por simetria antes de calcular o total.
Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.
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