Questão 160 do ENEM 2012 comentada
Como calcular o custo dos materiais de um vitral a partir das áreas relativas de suas regiões?
Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o m², e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m².
De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral?
- AR$ 22,50
- BR$ 35,00
- CR$ 40,00
- DR$ 42,50
- ER$ 45,00
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O que a questão cobra
A questão cobra o cálculo de áreas de partes de um quadrado e o uso dessas áreas para encontrar um custo médio por metro quadrado. É preciso distinguir a parte clara da parte sombreada.
Resolução
A figura mostra que as duas regiões claras são simétricas. Para calcular a área de uma delas, considere o triângulo ABD e retire dele o triângulo BPD. Como A, B, C e D são pontos médios, BD mede um lado do quadrado, e a distância de A até BD é metade desse lado. A área do triângulo ABD é, portanto, um quarto da área do quadrado. A distância de P até BD é um quarto do lado; assim, BPD tem metade da área de ABD. Cada região clara corresponde, então, a um oitavo da área total. Juntas, elas ocupam um quarto; a parte sombreada ocupa os três quartos restantes.
os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado
O custo por metro quadrado é a soma dos custos de cada material, ponderados pelas frações de área que ocupam:
Custo = (1/4 × R$ 50,00) + (3/4 × R$ 30,00)
Custo = R$ 12,50 + R$ 22,50 = R$ 35,00
Logo, o custo dos materiais é R$ 35,00 por metro quadrado de vitral.
Alternativa por alternativa
- A
R$ 22,50 não se sustenta: o cálculo inclui também o material claro, que custa R$ 50,00 por metro quadrado.
- B
Correta. um quarto da área é claro e três quartos são sombreados, resultando em R$ 35,00 por metro quadrado.
- C
R$ 40,00 não corresponde à soma ponderada: as frações de área e os custos dados resultam em R$ 35,00 por metro quadrado.
- D
R$ 42,50 é maior que o custo calculado; a parte sombreada, mais barata, ocupa três quartos da área.
- E
R$ 45,00 não se sustenta: a região clara, que custa mais, ocupa apenas um quarto da área.
Para lembrarCusto por área = soma de cada custo por metro quadrado multiplicado pela fração da área que usa aquele material.
Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.
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