Questão 161 do ENEM 2009 comentada
Como calcular a mediana de dez notas e comparar a pontuação de equipes em uma competição.
Suponha que a etapa final de uma gincana escolar consista em um desafio de conhecimentos. Cada equipe escolheria 10 alunos para realizar uma prova objetiva, e a pontuação da equipe seria dada pela mediana das notas obtidas pelos alunos. As provas valiam, no máximo, 10 pontos cada. Ao final, a vencedora foi a equipe Ômega, com 7,8 pontos, seguida pela equipe Delta, com 7,6 pontos. Um dos alunos da equipe Gama, a qual ficou na terceira e última colocação, não pôde comparecer, tendo recebido nota zero na prova. As notas obtidas pelos 10 alunos da equipe Gama foram 10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0.
Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido, essa equipe
- ATeria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse nota 0.
- BSeria a vencedora se ele obtivesse nota 10.
- CSeria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8.
- DPermaneceria na terceira posição, independentemente da nota obtida pelo aluno.
- EEmpataria com a equipe Ômega na primeira colocação se o aluno obtivesse nota 9.
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O que a questão cobra
A questão exige ordenar as notas e calcular a mediana de uma quantidade par de valores. Depois, é preciso comparar essa pontuação com as das outras equipes.
Resolução
A pontuação da equipe é a mediana das dez notas. Para dez valores, ela é a média entre o quinto e o sexto depois de ordenar as notas. Chamando de x a nota do aluno que faltou, as outras nove notas, em ordem, são 6; 6,5; 6,5; 7; 7; 8; 8; 10; 10.
a pontuação da equipe seria dada pela mediana das notas obtidas pelos alunos.
Se x for no máximo 7, os dois valores centrais serão 7, e a mediana será 7. Se 7 < x ≤ 8, os valores centrais serão 7 e x. Se x ≥ 8, serão 7 e 8.
Para 7 < x ≤ 8: mediana = (7 + x) ÷ 2 ≤ 7,5.
Para x ≥ 8: mediana = (7 + 8) ÷ 2 = 7,5.
Assim, a pontuação da Gama nunca passa de 7,5. Como Delta fez 7,6 e Ômega fez 7,8, Gama permanece na terceira colocação, qualquer que seja a nota do aluno.
Alternativa por alternativa
- A
Com nota 0, as duas notas centrais são 7; portanto, a pontuação é 7, não 6,5.
- B
Com nota 10, a mediana é 7,5, abaixo dos 7,8 pontos da Ômega.
- C
Com nota 8, a mediana é (7 + 8) ÷ 2 = 7,5, abaixo dos 7,6 pontos da Delta.
- D
Correta. Está certa: a mediana da Gama não ultrapassa 7,5, valor menor que as pontuações de Delta e Ômega.
- E
Com nota 9, a mediana é (7 + 8) ÷ 2 = 7,5, portanto não empata com os 7,8 pontos da Ômega.
Para lembrarCom uma quantidade par de valores, a mediana é a média entre os dois valores centrais após a ordenação.
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