Questão 141 do ENEM 2013 comentada
Como usar a geometria de círculos tangentes e a folga indicada para calcular o raio de um cano maior.
Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 30 cm, são soldados entre si e colocados dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver uma distncia de 10 cm entre os canos soldados e o cano de raio maior. Essa distncia é garantida por um espaçador de metal, conforme a figura:
Utilize 1,7 como aproximação para √3
O valor de R, em centímetros, é igual a
- A64,0
- B65,5
- C74,0
- D81,0
- E91,0
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Ver a resposta e a resolução
O que a questão cobra
A questão exige relacionar a disposição de círculos tangentes com o raio da circunferência que os envolve. Também é preciso usar a aproximação indicada para √3.
Resolução
Na figura, os centros dos canos menores formam um triângulo equilátero: como os canos são iguais e tangentes, a distância entre dois centros vizinhos é 60 cm. O centro do cano maior coincide com o centro da circunferência que passa pelos centros dos canos menores. O trecho decisivo é:
haver uma distncia de 10 cm entre os canos soldados e o cano de raio maior.
O raio dessa circunferência é o raio do triângulo equilátero. Para lado 60 cm, ele mede 60/√3, ou, racionalizando, 20√3.
20 × 1,7 = 34 cm
Assim, do centro do cano maior até a parede interna, somamos esse raio, o raio de um cano menor e a folga de 10 cm indicada na figura:
R = 34 + 30 + 10 = 74 cm
Portanto, o raio pedido é 74 cm.
Alternativa por alternativa
- A
Com R = 64 cm, a diferença R − 30 − 10 seria 24 cm. Ela deveria ser 34 cm, o raio da circunferência que passa pelos centros dos canos menores.
- B
Com R = 65,5 cm, a diferença R − 30 − 10 seria 25,5 cm, e não 34 cm.
- C
Correta. Está correta: R = 74 cm deixa 34 cm entre o centro do cano maior e os centros dos canos menores, além de incluir o raio de 30 cm e a folga de 10 cm.
- D
Com R = 81 cm, a diferença R − 30 − 10 seria 41 cm, maior que os 34 cm exigidos pela disposição dos canos.
- E
Com R = 91 cm, a diferença R − 30 − 10 seria 51 cm, e não os 34 cm determinados pela geometria.
Para lembrarO raio da circunferência circunscrita a um triângulo equilátero de lado a é a/√3; para envolver os canos, some a esse valor o raio do cano e a folga.
Resolução escrita com ajuda de IA a partir do gabarito oficial e revisada por um segundo modelo antes de ir ao ar. Achou erro? Avise a gente.
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