Questão 136 do ENEM 2013 comentada
Como usar a tangente de um ângulo agudo para calcular a área da base de um prisma oblíquo.
As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15° com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem. Disponível em: www.flickr.com. Acesso em: 27 mar. 2012.
Utilizando 0,26 como valor aproximado para a tangente de 15° e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço
- AMenor que 100 m²
- BEntre 100 m² e 300 m²
- CEntre 300 m² e 500 m²
- DEntre 500 m² e 700 m²
- EMaior que 700 m²
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O que a questão cobra
A questão cobra a relação entre a tangente de um ângulo agudo e os catetos de um triângulo retângulo. Depois, é preciso calcular a área de uma base quadrada.
Resolução
a inclinação das torres é de 15° com a vertical
A figura indica a altura vertical da torre e mostra que a inclinação provoca um deslocamento horizontal. Esse deslocamento corresponde ao lado da base quadrada. A tangente relaciona esse lado à altura: é a medida horizontal dividida pela medida vertical.
`tan(15°) = lado da base / 114`
Usando a aproximação indicada no enunciado:
`0,26 = lado da base / 114`
`lado da base = 114 × 0,26 = 29,64 m`
Como a base é quadrada, sua área é o lado elevado ao quadrado:
`área = 29,64 × 29,64 = 878,53 m²`
Esse resultado é maior que 700 m². Portanto, a área da base ocupa um espaço acima do limite da alternativa E. A imagem ajuda a interpretar a situação: a altura é vertical, enquanto a inclinação produz o deslocamento horizontal usado como lado da base.
Alternativa por alternativa
- A
a área calculada é 878,53 m², portanto não é menor que 100 m².
- B
878,53 m² não está entre 100 m² e 300 m².
- C
878,53 m² não está entre 300 m² e 500 m².
- D
878,53 m² não está entre 500 m² e 700 m².
- E
Correta. a área da base quadrada é 878,53 m², valor maior que 700 m².
Para lembrarEm um triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.
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